il problema dei compleanni

Il compleanno è una delle ricorrenze più personali nella nostra vita, e scoprire che qualcun altro è nato lo stesso nostro giorno ci procura sempre una piccola sorpresa. La cosa ha una giustificazione matematica: poiché, lasciando da parte gli anni bisestili, ci sono 365 giorni in un anno, la probabilità che i compleanni di due persone siano uguali è solo 1 su 365, cioè meno dello 0,3%, mentre la probabilità che essi siano diversi 364 su 365, cioè più del 99,7%.

Data una terza persona, la probabilità che non sia nata nello stesso giorno di una delle due precedenti è però 363 su 365, perché questa volta ci sono due possibilità. La probabilità che, fra i tre, non ce ne siano due con lo stesso compleanno è dunque 364 x 363 su 365 x 365 (perché le probabilità si moltiplicano)(in percentuale rispettivamente 1% e 99% circa).

La cosa sorprendente è che, continuando nello stesso modo, la probabilità che fra 24 persone non ce ne siano due con lo stesso compleanno si calcola come:

364 x 363 x ... x 342
--------------------------------------- = 0,4616....
 365²³

e diventa cioè il 46% (fidatevi o usate una calcolatrice scientifica)
Quindi la probabilità che due fra esse abbiano lo stesso compleanno è dunque il 54%!

E con i nostri 51 atleti la probabilità di festeggiamenti nello stesso giorno arriva addirittura al 97%.

Questa è una delle tipiche stranezze della probabilità: mentre in teoria sono necessarie 365 persone per avere la certezza assoluta che due fra esse abbiano lo stesso compleanno, in pratica ne sono sufficienti 40 per avere una altissima probabilità (90%), e dunque una quasi certezza. Per effettuare una verifica empirica basterà confrontare le date di nascita degli alunni di una classe scolastica, o di un gruppo sufficientemente nutrito di amici, eventualmente scommettendo contro gli scettici.

(tratto da Matemangolo di Piergiorgio Odifreddi e adattato al nostro numero di atleti)

Per una simpatica simulazione del problema clicca qui.